Pixelsize - Aperture - Focal length vodoo

das ideale Öffnungsverhältnis (42) berechnen

Das Thema des Under- und Oversamplings wird in den Astro-Foren immer mal wieder durchgekaut. Ich schreibe das hier nicht weil ich etwas besonders neues weiß, sondern weil ich es einfach interessant finde mit den Formeln und bunten Grafiken rumzuspielen. Und in der Praxis kommen dann noch ganz andere Einflüsse dazu (z.B. Seeing).

Die unteren Grafiken sind interaktiv und in dem anfänglich dargestellem Dimensionen kann herumgezoomt werden.

Wie groß sind meine Pixel

Die Pixelgröße der Kamera ist die Größe des Sensors geteilt durch die Anzahl der Pixel. Für mein 16 MP (4610x3464 Pixel) MFT (17.3x13mm) Sensor $$ pxlsz = \frac{17300\thinspace\mu m}{4608\thinspace px} = 3.75\frac{\mu m}{px} $$

Das Auflösungsvermögen

Über das Rayleigh-Kriterium kriegt man mit $ \lambda = 550\thinspace nm $ für die durschschnittliche Wellenlänge des sichtbaren Lichts und hier dem Teleskop-Durchmesser D (in m) das Auflösungsvermögen des Teleskops in Sekunden raus: $$ r = 1.22 * \frac{550*10^{-9}\thinspace m}{D} * \frac{180}{\pi} * 3600 $$ Das bedeutet, zwei Sterne die sich im Abstand von mehr als diesem Auflösungsvermögen befinden, können unter perfekten Bedingungen auf einem Bild unterschieden werden.

Die Formel ergibt folgende Kurve mit der Öffnung auf der x-Achse und dem Auflösungsvermögen auf der y-Achse:

Wellenlänge in nm
Apperture in m
max. Resolution (")

Was passt auf einen Pixel

Das Teleskop zeigt mit einer bestimmten Brennweite f auf meinem Kamera Sensor einem bestimmten Auschnitt de Himmels. Das kann ich mit der Pixelgröße auch für einen Pixel berechnen:

$$ r = 2 * atan\left(\frac{pxlsz}{2*f}\right) * \frac{180}{\pi} * 3600 $$

Für die Pixelgröße 2.4 und 3.7$\mu m$ sieht das im Bereich 300-2000mm Brennweite folgendermaßen aus:

Pixelsize in µm
Focal length in m
Resolution of one pixel (")

Kombination

Die obigen Kurven können nun auch Dreidimensional datgestellt werden, mit der Brennweite als x-Achse, der Öffnung als y-Achse und der Pixelgröße als z-Achse. Die beiden Kurven sind darin Ebenen die sich in einer 3D-Kurve schneiden, dem idealen Öffnungsverhältnis für eine gegebene Pixelgröße, bei der das Auflösungsvermögen des Teleskops genau einem Pixel auf dem Sensor entspricht. In der folgenden 3D-Darstellung als schwarze Kurve der Schnittfläche der beiden Ebenen dargestellt.

Mit der Formel des Auflösungsvermögen nach D umgestellt: $$ D = 1.22 * \frac{550*10^{-9}\thinspace m}{r} * \frac{180}{\pi} * 3600 $$

und der Pixelgröße nach Brennweite

$$ f = \frac{pxlsz}{2 * tan\left(\frac{r * \pi}{2 * 180 * 3600}\right)} $$

ergibt sich das ideale Öffnungsverhältnis für eine gegebene Pixelgröße:

$$ \frac{f}{D} = \frac{pxlsz * \pi * r}{2 * 1.22 * 550 * 10^{-9} * 180 * 3600 * tan\left(\frac{\pi * r}{ 2* 180*3600}\right)} $$

Wenn man sich obige 3D-Kurve genau anschaut und so dreht, dass man von oben drauf schaut, sieht man das unter realen Bedingungen eine Gerade dabei heraus kommt und bei gegebener Pixelgröße der Kamera ergibt sich folgendes ideales Öffnungsverhältnis oder umgekehrt für gegebenes Öffnungsverhältnis die entsprechende Pixelgröße für den Sensor:

  • $2.4\thinspace\mu m$: f/3.6
  • $3.3\thinspace\mu m$: f/4.9
  • $3.7\thinspace\mu m$: f/5.5
  • $5.4\thinspace\mu m$: f/8.0

Aus den obigen Werten ergibt sich:

Resolution in µm
ideales Öffnungsverhältnis

Damit ein Stern auf einem Bild aber “schön” rund aussieht, sollte er auf 3x3 Pixeln landen, das funktioniert aber nur, wenn sein Zentrum exakt auf dem mittlersten Pixel landet. Also muss ich mein Öffnungsverhältnis verdreifachen. Dafür gibt es dann das Dithering/Drizzling, das die Montierung absichtlich immer geringfügig abweicht und somit die Sterne immer wieder (teilweise) auf umliegenden Pixeln abgebildet werden. Im Nachhinein wird daraus ein höher aufgelöstes Bild berechnet, die Pixel werden also “verkleinert”. Das funktioniert aber auch nur mit einer sehr exakten Nachführung und genauer Fokussierung und dann kommt ja noch das eingangs erwähnte Seeing mit dazu, das die Auflösung beeinflusst (ob zum Schlechten oder doch zum Guten sein nun dahingestellt).

Grafiken

Die obigen Bildchen sind mit plotly.js dargestellt. Das Perl-Script das die Daten erzeugt gibt auf Gitlab.com

weitere Informationen

oder wo ich meine Infos her habe.


See also